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Die Beleuchtungsstärke eines Sterns

Die Beleuchtungsstärke E eines Sterns ist die erhaltene Energiemenge pro Flächeneinheit. Im international gültigen System wird die Beleuchtungsstärke angegeben in:

[E] = W / m2

Die Beleuchtungsstärke der Sonne ausserhalb der Erdatmosphäre wird mit E = 1350 W / m2 gemessen.

Das bedeutet, dass mit einem Sonnenpanel von 100% Wirkungsgrad und 1m2 Grösse 1350 W erzeugt werden könnten – leider ist der Wirkungsgrad nur 15 - 20 %. So entstehen pro m2 etwa 200 bis 250 Watt. Solche Sonnenpanels werden von Satelliten und auch dem Hubble-Teleskop ausgenützt.

Die Leuchtdichte eines Sterns

Die Leuchtdichte L eines Sterns ist die abgestrahlte Energiemenge. Die Leuchtdichte ist eine Leistung und wird in Watt angegeben:

[L] = W / m

Man kann nun die Leuchtdichte der Sonne berechnen, wenn man die erhaltene Beleuchtungsstärke E und die Entfernung r der Sonne kennt. Die Leuchtdichte ist das Produkt der Beleuchtungsstärke E des Sterns und der Kugelfläche 4 Pi r2 auf der die Messung gemacht wurde.

L = E 4 Pi r2

Diese Messung setzt voraus, dass die Quelle (der Stern) punktförmig, die Strahlung in allen Richtungen gleichmässig ist und auf dem Weg zur Messung keine Absorption durch Objekte wie Staub stattfindet.

Für die Sonne berechnet sich aus E = 1350 W / m2 und einer Distanz r = 1,5 1011 m (mittlere Entfernung Erde Sonne):

LSonne = 1350 x 4 Pi (1.5 * 1011) 2 = 3.28 * 1026

Dies ist eine 4 mit 26 Nullen. Dies ist eine unvorstellbare Leistung. Würde man diese Leistung der Sonne anstatt in alle Richtungen abzustrahlen, nur auf die Erde richten, so würden sich die Ozeane in einer Sekunde auf 100 Grad erwärmen!

Bemerkungen

  • Normalerweise messen wir die Beleuchtungsstärke E eines Sterns. Um seine Leuchtdichte L zu ermitteln, muss man die Distanz r zu diesem Stern kennen.
  • Die Leuchtdichte L ist eine fixe Grösse für jeden Stern. Seine Beleuchtungsstärke E hängt aber von der Distanz r diese Sterns ab (Funktion von r):

    E (r) = L / ( 4 Pi r2 )

    Anders gesagt: wird ein Stern aus doppelter Distanz beobachtet, so verringert sich die Beleuchtungsstärke auf einen Viertel. Der gleiche Stern aus 10-facher Distanz beobachtet wird mit einer Beleuchtungsstärke von einem Hundertstel gemessen. Alles hängt von der Distanz zum Objekt ab.

Übung

  • Die Leuchtdichte eines Sterns A ist 16-mal schwächer als die des Sterns B. Der Stern B befindet sich 20 Lichtjahre vom Beobachter entfernt. Beide Sterne erscheinen dem Beobachter gleich hell (gleiche Beleuchtungsstärke). Wo befindet sich Stern A?
  • Der Stern A wird von uns als 4-mal heller beobachtet als der Stern B. Wir wissen, dass der Stern A uns 3 mal näher ist als Stern B. Wie verhalten sich die Leuchtdichten der beiden Sterne?

Die scheinbare Grösse (Magnitude)

Der älteste uns bekannte Katalog von Sternen wurde von Hipparcos 150 v. Chr. zusammengestellt. Er enthält 1080 Sterne, die nach ihrer «Grösse» aufgelistet sind: die hellsten Sterne sind mit Grösse 1, die schwächsten mit Grösse 6 bezeichnet. Dieser Katalog war die Referenz für alle Astronomen während 16 hundert Jahren. Das Prinzip der Klassifizierung wurde bis heute beibehalten und wird heute als «scheinbare Magnitude» m angegeben.

Messungen haben ergeben, dass visuell die Sterne der Magnitude 1 einhundert Mal heller sind als jene der Magnitude 6. Die Sterne der Magnitude 1 sind 2.5 mal heller als die der Magnitude 2, jene wiederum 2.5 mal heller als die von Magnitude 3 usw. Eine arithmetische Skala der Magnituden entspricht einer geometrischen Skala der Beleuchtungsstärken. Auf Grund dieses Zusammenhangs hat der Engländer Norman Pogson 1856 eine quantitative Skala der Magnituden vorgeschlagen, die bis heute gültig ist:

m = -2.5 log E + Konstante

Die Konstante ist ein Wert, der die Kalibration der Magnitude 0 erlaubt.
Die Differenz der scheinbaren Magnitude zweier Sterne ist somit gegeben durch:

m1 - m2 = 2.5 log (E2 / E1)

Beispiele:

  • Ein Stern 1 hat eine 100 mal grössere Beleuchtungsstärke E1 als Stern 2 (E2) . Das Verhältnis der Beleuchtungsstärken E2 / E1 ist also 1 / 100 und der log dieses Verhältnisses ist damit -2. Multiplizieren wir dieses Verhältnis mit 2.5 erhalten wir -5; dies entspricht der Differenz der Magnituden dieser beiden Sterne. Ist die Magnitude des ersten Sterns 3, so hat der Stern 2 eine Magnitude von 8.
  • Ein Stern 1 hat eine Magnitude von 21. Er hat eine Beleuchtungsstärke, die eine Million Mal schwächer ist als die von Stern 2. Das Verhältnis von E2 / E1 beträgt 1'000'000 / 1 und der log daraus ist 6, multipliziert mit 2.5 ergibt 15. Somit hat der Stern eine Magnitude von 21 - 15 = 6.

Bemerkung:

Bei dieser Skala gilt: je grösser die Magnitude umso schwächer leuchtet der Stern. Dies entspricht nicht unserer Gewohnheit.

Andererseits erlaubt diese Skala auch negative Werte. Je negativer der Wert, umso heller der Stern. Unsere Sonne, der Mond, einige Planeten und wenige Sterne haben eine negative Magnitude.

Vergleich der Differenz der Magnitude zweier Sterne und deren Verhältnis der Beleuchtungsstärken:

Differenz der Magnituden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Verhältnis der Beleuchtungsstärken 2.5 6.3 16 40 100 250 630 1'600 4'000 10'000

Es ist auch möglich, das Verhältnis von zwei Beleuchtungsstärken auszurechnen, wenn man die Magnitude der beiden Objekte kennt. Es berechnet sich wie folgt:

E2 / E1 = 10 0.4 (m1 - m2)

Beispiele:

  • Der Polarstern hat eine scheinbare Magnitude m von 2.0, Sirius eine von m -1.5. Die Differenz der Magnituden beträgt somit 2 - (-1.5) = 3.5. Laut ober Formel ergibt dies ein Verhältnis der Beleuchtungsstärken von 25. Sirius ist also 25-mal heller als der Polarstern.
  • In den 70er Jahren konnte das 5m Teleskop auf dem Mount Palomar fotografisch Sterne mit der Magnitude 23.5 registrieren. Das Hubble Teleskop kann heute mit seiner CCD-Kamera noch Sterne der Magnitude 30 bei einer Beleuchtungszeit von 18 Stunden erkennen. Die Differenz der Magnituden ist also 6.5, was ein Verhältnis der Beleuchtungsstärken von 400 ergibt! Hubble sieht also Sterne, die 400-mal schwächer sind als jene, die vom Teleskop auf dem Mount Palomar noch erreicht werden können.

Wichtige Bemerkung:

Die Beleuchtungsstärke eines Sterns, das heisst seine scheinbare Magnitude hängt auch vom «Empfänger» (Auge, Film, Foto, CCD) ab. Nicht alle Empfänger sind in allen Farben gleich empfindlich. Man unterscheidet allgemein zwischen einer visuellen und einer fotografischen scheinbaren Magnitude. Für die fotografische Magnitude werden kalibrierte Filter mit genau festgelegtem Durchlass angewendet.

Bei all unseren Ausführungen gehen wir von der visuellen scheinbaren Magnitude aus.

Magnitude bekannter Himmelsobjekte:

Sonne: -26
Vollmond: -15
Viertelmond: -8
Venus: von -4.8 bis -3.6
Jupiter: von -2.9 bis -1.6
Mars: von -2.6 bis 1.8
Sirius: -1.5
Merkur: von -1.5 bis 3.5
Saturn: von 0.3 bis 1.7
Uranus: 6
Neptun: 8
Pluto: 14

Helle Sterne: Wega, Arkturus, Rigel, Betelgeuse, Capella: 0

Etwa 300 Sterne sind heller als Magnitude 3.5 (d.h. m < 3.5)

Etwa 7'500 Sterne sind heller als Magnitude 6.5 (d.h. für das geübte Auge bei perfekten Bedingungen sichtbar)

Magnituden in Funktion des benützten Instrumentes:

Das Auge kann bei perfektem Himmel und im Zenit ohne Hilfsmittel folgende Magnituden erkennen:

junges Auge (Durchmesser der Pupille: etwa 7 mm): m 6.5
altes Auge (Durchmesser der Pupille: etwa 4.5 mm): m 5.5

In Anbetracht der meist nicht perfekten Bedingungen und der Tatsache, dass nur der halbe Himmel beobachtet werden kann, schätzt man, dass etwa 2'000 Sterne ohne Hilfsmittel sichtbar sind.

Mit Hilfsmitteln erhöht sich die Anzahl sichtbarer Sterne. Folgende Grenzgrössen gelten in etwa:

Hilfsmittel Grenzgrösse
Fernglas mit 500 mm Öffnung m 10
Teleskop mit 15 cm Öffnung m 13
Teleskop mit 40 cm Öffnung (Pegasus) visuell m 15
Teleskop mit 40 cm Öffnung (Pegasus) mit CCD m 20
Teleskop mit 5 m Öffnung visuell m 20.5
Teleskop mit 5 m Öffnung fotografisch m 24
Teleskop mit 5 m Öffnung mit CCD m 26.5
Teleskop mit 10 m Öffnung visuell m 222
Teleskop mit 10 m Öffnung mit CCD m 28
Hubble Space Teleskop 2.4 m Öffnung mit CCD m 30

Wie kann die Grenzgrösse eines Instruments bestimmt werden?

Wir beschränken uns hier auf eine vereinfachte Methode der Berechnung und stellen zwei Hypothesen auf:

  • Die Grenzgrösse für das Auge ohne Hilfsmittel ist m 6.5 und die Pupille hat damit eine Öffnung von 7 mm.
  • Die Verluste des Instrumentes, wie Reflektionen, Absorptionen und Abschattung werden nicht berücksichtigt. Damit sollte die berechnete Magnitude 0.1 bis 0.3 Magnituden besser sein als das Instrument tatsächlich liefern kann.

Will man mit einem Eimer viel Regenwasser sammeln, so muss der Durchmesser der Gefässes möglichst gross sein, resp. die Sammelfläche muss möglichst gross sein. Verdoppelt man die Sammelfläche, so verdoppelt sich auch die gesammelte Wassermenge. Das Sammeln von Licht funktioniert genau gleich. Um mehr Licht zu sammeln, muss die Fläche der Sammellinse (Spiegel) vergrössert werden. Darum ist der Durchmesser der Optik die wichtigste Kenngrösse eines Teleskops. Dadurch spricht man von Ferngläsern mit 13 cm oder Teleskop mit 60 cm Öffnung.

Da die Fläche proportional im Quadrat seines Durchmessers ist, bedeutet eine Verdoppelung des Durchmessers eine Vervierfachung der Fläche S und damit vierfache Lichtmenge. Allgemein gilt folgende Formel:

E1 / E0 = S1 / S0 = D12 / D02 = (D1 / D0) 2

Wobei E1, E0 die Beleuchtungsstärke eines Instruments mit einem Durchmesser von D1 resp. D0 ist.

Wenn man diese Formel die Magnituden einsetzt, erhält man:

m1 - m0 = 2.5 log [ ( D1 / D0) 2 ] oder
m1 - m0 = 5 log ( D1 / D0 )

m0 = Magnitude eines Objekts beobachtet durch das Referenz Instrument (für das Auge ohne Hilfsmittel m0 = 6.5 und D0 = 7 mm = 0.7 cm)

m1 = beobachtete Magnitude durch das Instrument des gleichen Sternes mit einem Durchmesser von D1

m0 - m1 = Gewinn (oder Verlust) in Magnituden des Instrumentes mit dem Durchmesser D1 verglichen mit dem Instrument mit einem Durchmesser von D0.

Beispiele:

  • Ein Stern, eben noch sichtbar für das Auge ohne Hilfsmittel mit einer Magnitude von m 6.5, wird mit einem Riesenfernglas mit einer Öffnung von 13 cm beobachtet. Das Verhältnis der Durchmesser D1 / D0 beträgt 13 / 0.7 = 18.8. Fünfmal den log davon ergibt 6.3. Der Stern, beobachtet durch das Fernglas, erscheint uns also m 6.5 - 6.3 = 0.2 und entspricht damit einem Stern der ersten Magnitude. Das bedeutet, dass Sterne mit Magnitude 6.5 sehr gut mit einem solchen Fernglas beobachtet werden können. Da der Gewinn dieses Instrumentes 6.3 beträgt, ist die Grenzgrösse damit bei m 6.5 + 6.3 = 12.8!
  • Berechnen wir den Gewinn in Magnituden des VLT (Very Large Telescope = 4 Spiegel von 8 m entsprechen einem Teleskop mit einem Spiegel von 16 m Durchmesser) gegenüber unserem Auge. Das Verhältnis der Durchmesser D1 / D1 beträgt 1'600 / 0.7 = 2'285. Fünfmal der log davon ergibt 16.8 - dies ist der Gewinn in Magnituden. Die visuelle Grenzgrösse des VLT ist also 6.5 + 16.8 = 23.3!

Übung:

  • Berechne die Grenz-Magnitude für ein Teleskop mit 20 cm, 40 cm und 60 cm Öffnung.
  • Berechne den Gewinn in Magnituden eines 40 cm Instrumentes gegenüber eines mit 20 cm.

Die bis hierher behandelte Magnitude beschränkt sich ausschliesslich mit visuellen Grössen. Heute arbeitet eigentlich kein Observatorium noch mit visueller Beobachtung. Wie lässt sich die beobachtbare Magnitude mit der fotografischen Methode steigern? Diese Steigerung wird durch zwei Faktoren beschränkt:

  • Normalerweise geht man davon aus, dass eine doppelt lange Belichtung auch doppelt so viel Licht auf die Fotoschicht bringt und damit doppelt so hell auf dem entwickelten Film erscheint. Dieses Verhalten ist nur bei relativ kurzen Belichtungszeiten bis zu einer Minute korrekt. Längere Belichtungszeiten sättigen den Film und es entsteht kein zusätzlicher Gewinn.
  • Der Himmelshintergrund ist nie ganz schwarz. Mit längerer Belichtungszeit hellt sich der Film immer mehr auf und Lichtschwache Objekte verlieren sich im Hintergrund.
     

Um diesen beiden Nachteilen zu entgehen, benützt man:

  • CCD Kameras, der diese Sättigungserscheinung nicht oder nur in sehr geringem Masse hat. CCD Chips sind weitgehend linear, d.h. doppelte Belichtungszeit heisst auch doppelte gesammelte Lichtmenge.
  • Das Hubble Teleskop, das ausserhalb der Atmosphäre arbeitet. Trotz seines kleinen Durchmessers von 2.4 m liefert das Instrument bessere Resultate als jedes Teleskop auf der Erde. Um diese Resultate zu erreichen, wird die Belichtungszeit auf bis zu 18 h ausgedehnt.
     

Erdgebundene Teleskope erreichen durch diese Aufnahmetechniken einen Gewinn gegenüber der visuellen Grenzmagnitude von:

  • 3 - 4 Magnituden für die konventionelle Fotografie
  • 5 bis 7 Magnituden für eine CCD Kamera.

Übung:

Nehmen wir an, eine CCD Kamera erreicht nach 2 Sekunden Belichtungszeit die visuelle Grenzmagnitude eines Teleskops. Ferner wird die Hintergrundhelligkeit des Himmels vernachlässigt. Wie gross ist der Gewinn in Magnituden:

  • nach einer Minute Belichtungszeit
  • nach 16 Minuten Belichtungszeit
     

Die absolute Grösse (Magnitude)

Um die Helligkeit zweier Sterne wirklich zu vergleichen, so muss man beide Sterne (virtuell) aus der gleichen Entfernung beobachten. Diese Distanz wurde auf 10 Parsec festgelegt – dies entspricht 32.6 Lichtjahren.

Laut Definition entspricht die absolute Magnitude M eines Sterns seiner scheinbaren Magnitude m beobachtet aus einer Entfernung von 32.6 Lichtjahren.

Will man die absolute Magnitude M eines Sterns festlegen, benötigt man die scheinbare Magnitude m und die Distanz r.

Nehmen wir an, E ist die Beleuchtungsstärke und r die wirkliche Entfernung, sowie E* die Beleuchtungsstärke dieses Sterns, würde er sich in einer Entfernung von R von 10 Parsec oder 32.6 Lichtjahren befinden. L ist die Leuchtdichte dieses Sterns. Es gilt nun:

m = -2.5 log E + Konstante
M = -2.5 log E* + Konstante
Daraus folgt:
m - M = 2.5 log (E* / E)

Die Beleuchtungsstärke E hängt von der Leuchtdichte L und der Entfernung r ab:

E(r) = L / ( 4 Pi r2 )

Das Verhältnis der Beleuchtungsstärken ist:

E* / E = r22

Durch einsetzen in der obigen Formel erhält man:

m - M = 2.5 log [ (r / R)2 ]   oder
m - M = 5 log (r / R)   mit D = 10 pc = 32.6 Lj

Wenn man die Entfernungen in Parsec angibt, so gilt:

m - M = 5 log d - 5   mit d in pc

Dieses letzte Verhältnis wird auch Modul der Entfernung genannt. Ist die scheinbare Magnitude eins Objektes bekannt, kann die absolute Magnitude berechnet werden, sofern man die Entfernung kennt. Umgekehrt ist auch möglich, aus der gemessenen scheinbaren Magnitude und der bekannten absoluten Magnitude die wahre Distanz zu berechnen. Diese Formeln sind aber nur dann gültig, wenn das Licht auf dem Weg zum Beobachter nicht durch interstellare Materie gedämpft wird.

Beispiele:

Bestimmen wir die absolute Magnitude unserer Sonne. Die scheinbare Magnitude beträgt m -26.7, die Entfernung ist 150 Millionen km oder 8.3 Licht-Minuten oder 1.58 10-5 Lichtjahre oder 4.86 10-6 Parsec. Mit dem Modul der Entfernung findet man:

M = m + 5 - 5 log r
M = -26.7 + 5 - 5 log(4.86 10-6) = 4.9

Das bedeutet: unsere Sonne würde bei einer Entfernung von 32.6 Lichtjahren wie ein schwacher Stern der Magnitude 4.9 leuchten.

Bestimmen wir die absolute Magnitude von Deneb. Die scheinbare Magnitude ist m = 1.3, Deneb befindet sich in einer Entfernung von 1'800 Lichtjahren oder 550 Parsec.

M = 1.3 + 5 - 5 log(550) = -7.4

Deneb, in einer Entfernung von 32.5 Lj würde leuchten wie der Viertelmond!

Es ist klar, dass ein Vergleich der absoluten Magnituden auch ein Vergleich der Leuchtdichten der Sterne erlaubt, da diese sich ja in der gleiche Entfernung befinden.

Die Differenz der absoluten Magnitude von Deneb und der Sonne beträgt 4.9 - (-7.4) = 12.3. Nimmt man die Formel:

E2 / E1 = 100.4 (m1 - m2)

und berücksichtigt, dass das Verhältnis der absoluten Magnituden und damit der Beleuchtungsstärken auch dem Verhältnis der Leuchtdichten entspricht, so erhält man:

L2 / L1 = 100.4 (M1 - M2)
L2 / L1 = 100.4 (12.3) = 83'000

Deneb leuchtet also 83'000 heller als die Sonne!

Schaut man in den Tabellen nach, findet man, das Deneb 100'000 heller leuchtet als die Sonne. Unsere Formeln zeigen ein recht gutes, aber nicht exaktes Resultat. Unsere Berechnungen beruhen auf visuellen Magnituden. In den Tabellen der Publikationen wird aber meist die totale Leuchtdichte angegeben, von ultraviolett bis infrarot. Aus diesem Grund sind diese Werte zum Teil unterschiedlich.

Quelle

Übersetzung und Publikation auf der AGO Website mit freundlicher Genehmigung des Autors und der SAVAR (Société d'astronomie du Valais romand). Besuchen Sie auch die Website unserer Schwestergesellschaft savar.astronomie.ch.

La magnitude des étoiles
35 kb, 8 Seiten

Autor

Originalversion auf Französisch: Alain Kohler, SAVAR
Übersetzung: Robert Glaisen, AGO

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